量子力学讨论将告一段落，《张朝阳的物理课》走向化学领地：讲解原子半径和能级改变

1 月 30 日 12 时，《张朝阳的物理课》第二十四期开播。与以往不同的是，此次直播，也成为今年搜狐视频"直播伴你过大年"节目的一部分。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，复习了氢原子的波函数，根据能级的简并与各种量子数的取值范围研究电子的轨道。

通过氢原子的径向波函数，张朝阳分析了电子在不同半径球壳出现的概率，以求得轨道半径，又通过生动形象的动画，直观展现氢原子波函数的三维形状。之后过渡到多电子原子体系，研究了氦原子和锂原子中电子间的排斥力和对核电荷的屏蔽作用，将氢原子轨道扩展到多电子原子。最后举例讨论了碳氮氧等元素的电子排布，解释它们如何与不同数量的氢原子共同结合成多种重要物质，内容也从物理领地走向化学领地。

"过年啦！物理课不能停！"张朝阳在直播间"小白板"上写下主题，"过年闲下来，别忘了自己该干的事。学习不能停，物理不能停，探索自然界的奥秘不能停。"他说，"学习物理，仅仅停留在数学计算而没有实际的运用，是没有意义的。所以，今天将走向化学领地，讲讲元素周期表。"

轨道能级有简并 三量子数来确定

经过此前几节课的推导，张朝阳带网友求解氢原子的薛定谔方程，得到其原子能级与电子波函数。

他介绍，波函数描述了电子绕核运动的"轨道"，用三个量子数描述，分别为主量子数 n，角量子数 l 与磁量子数 m，它们只能取整数值，具有量子力学独特的分立性。对应于主量子数 n，角量子数取值可从 0 取到 n-1，其波函数对应的轨道也用特殊的符号描述 s，p，d，f，g，h，i，j，...，在这些符号前加上 n，就可以描述轨道能级。

张朝阳举例，轨道 1s 代表对应的波函数的主量子数为 n=1、角量子数为 l=0，轨道 4d 代表 n=4 与 l=2。确定了 n 与 l 之后，磁量子数 m 取值则是从-l 到 l，共 2l+1 个，这样对于不同的轨道含有不同的量子态数。对于 1s 轨道，m 只能取 0，只有一个量子态；而对于 4d 轨道，m 可以取-2，-1，0，1，2 五个值，说明它包含了五个量子态。接下来，张朝阳带着网友尝试研究这些轨道的性质，并将其扩展到多电子原子体系。

求导计算概率极值 得到原子轨道半径

在了解了电子轨道与能级简并后，张朝阳继续带领网友了解不同轨道的半径。他说，为了计算半径，需要回到轨道对应的波函数中。由于 l=n-1 的波函数最容易写出来，张朝阳先对这些"角动量最大的态"来计算，对应的轨道是 1s，2p，3d.....，其径向波函数表达为如下形式：

根据量子力学中波函数的概率诠释，由于角向波函数归一化的事实，电子出现在球壳 r 到 r+dr 的概率是：

通过求导取极值，可以求出这个概率密度取到极大值时的位置为：

类氢原子中电子出现在这个半径的概率最大，于是该半径可以等效地认为是此轨道的半径，上述公式显示了轨道半径与主量子数 n、核电荷数 Z 之间的关系。

▲ 张朝阳计算 l=n-1 轨道的半径

张朝阳介绍，"其它轨道的半径也是差不多的算法，需要先知道其对应的径向波函数才行。"为了演示其他类氢原子波函数怎么求解，他利用上节课推导出来的递推关系求出了 n=2，l=0 的径向波函数，并且画出了电子概率密度随 r 变化的函数图像，可以清晰地看到它在 5.1 倍玻尔半径处取到最大值，除此之外在 0.8 玻尔半径处还有个小峰值。

在讨论完氢原子波函数的各个性质之后，他还给网友演示了关于氢原子波函数 3D 形貌的一条视频，非常直观地呈现出包含径向与角向部分的完整而立体的氢原子波函数。

多个电子相作用 近似屏蔽核电荷：氦原子与锂原子

氢原子只有一个电子，其他原子有多个电子，这些多电子体系该怎么处理？仍有类似氢原子这样的轨道结构吗？它们的核外电子又该如何排布？

张朝阳解释，多电子体系的难点在于，除了电子与核的吸引作用外，电子与电子之间也有排斥作用，这样的哈密顿量对应的薛定谔方程是很难求解的，但仍然可以通过近似的办法得到定性的电子排布图像。

他一步一步推导。先看氦原子，氦原子有两个电子，原子核带两个正电荷，相当于 Z=2，但不能像类氢原子那样去计算，因为这时候氦原子中一个电子的负电荷会屏蔽另一个电子感受到的原子核的正电荷，相当于电子感受到原子核的等效 Z 会小于 2。氦原子处于基态时，假定电子的波函数仍然跟单个电子时相同，这样电子的波函数里的 Z 也会小于 2。

为了具体求出这个等效的 Z 是多少，可以利用变分法，要求考虑了所有相互作用的哈密顿量在上述假定的波函数下取得最小值。对应于能量取得最小值时的 Z 值，也就是氦原子基态时的 Z 值。经过计算，该等效电荷为 Z=27/16，确实是小于 2 的。根据前面推导出的半径与 Z 的关系，若不考虑屏蔽作用，Z=2，则氦原子的电子半径应为 1/2 玻尔半径，但查找数据表明电子的实际半径比它要大，这也体现了在电子屏蔽下的等效 Z 不再是 2 而是比 2 小了。

▲ 张朝阳关于多电子原子轨道的评论

研究完两个电子的氦原子之后，张朝阳继续讨论有三个电子的锂原子。他先引入电子自旋的概念，并介绍了泡利不相容原理。他说，电子除了传统的轨道自由度，还有个内禀自由度叫做自旋，电子自旋正交的态只有两个，为了简单起见这两种自旋状态就称为向上和向下，不同的自旋代表不同的量子态。

他继续介绍，泡利不相容原理则是说在费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这样 1s 轨道中，可以填一个自旋向上的电子和一个自旋向下的电子，但不能再填第三个电子，因为如果第三个电子也处在 1s 轨道上，那必然至少有两个电子自旋方向一样，说明这两个电子处在同一个量子态当中，这不符合泡利不相容原理，所以第三个电子只能往更高能级的轨道上填充。在锂原子处于基态时，为了保证能量尽可能地低，1s 轨道填满两个电子之后，就会往 2s 轨道上填。

张朝阳假设这时候 2s 轨道上的电子受到 1s 轨道的电子的屏蔽效果仍然像氦原子中的电子屏蔽那样，那么计算出来的第三电子轨道半径应该是 4/3 玻尔半径附近。然而实际数据表明，锂原子的半径远远大于这个值，这说明 2s 电子受到的屏蔽效果并不像氦原子里的电子那样小。

张朝阳解释说，这是因为 2s 电子轨道较大，2s 电子与 1s 电子波函数的交叠比较小，假设 1s 电子一直都是在 2s 电子轨道内部，那么 2s 电子看到的等效电荷其实是 3-2=1，也就是锂原子 2s 电子的轨道半径跟氢原子 2s 轨道半径是一样的。可惜的是，实际数据表明锂原子 2s 电子的轨道半径还是比氢原子中 2s 电子轨道半径要小的。最终我们可以得到这样的图像：锂原子 2s 电子距离 1s 电子轨道较远，处于不同的壳层，感受到的原子核电荷被 1s 轨道的 2 个电子强烈屏蔽，但 1s 轨道的电子仍然有机会跑到 2s 电子外，所以 2s 电子感受到的有效核电荷数仍然略大于 1。

氢氦锂到元素周期表 二氧化碳、氨、水

张朝阳介绍，通过定性研究氦原子与锂原子的电子排布，可以看出同一壳层与不同壳层的电子之间的斥力所造成的对原子核电荷的屏蔽效应是如何起作用的。

至于包含更多电子的原子，也可以用同样的方法讨论。一个电子感受到的其他电子的斥力，近似地等效于此电子感受到的原子核电荷的变化，这样就可以忽略电子之间的相互作用，而看作是电子只与核相互作用，电子近似地相互独立，这样薛定谔方程又变回单电子的薛定谔方程，并且角向部分与氢原子相同，只是径向部分的势能有所变化，从而电子的轨道概念依然存在，只不过由于势能不再是单纯的库伦势，能级不仅与 n 有关，且与角量子数 l 也有关。

值得一提的是，对于 l 较大的电子，它离开原子核的平均距离较大，内层电子的屏蔽效应也较大，因此，相对于纯库伦势的能级分布，屏蔽库伦势中 l 较大的能级往上的移动就大得多，例如 3d 能级可以上升到与 4s，4p 能级靠近而形成第 4 壳层。

▲ 不同元素的原子半径

元素周期表中各元素的原子半径，具有如下变化规律：不同周期的原子，其核外电子的壳层数不同，壳层越多半径越大。而同一周期的原子都有相同的壳层数，随着原子序数的增加，核电荷数 Z 变大，核对电子的吸引力变大，半径就会变小，如下图：

理解了多电子体系的电子如何排布之后，张朝阳还举例讨论了 C，N，O 原子的电子排布，由此解释它们为何能与不同数量的氢原子通过共价键分别形成二氧化碳、氨气、水等，这些都是与生命密切相关的非常重要的物质。这也体现了量子力学强大的描述能力。

"从薛定谔方程，到解决氢原子问题，理解原子、元素和元素周期表，再看原子半径和能级的改变，我们开始有望揭秘世间万物、理解这个世界最本质的道理。"直播结尾，张朝阳宣布关于量子力学的讨论将告一段落。